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2005年07月18日 (月) | 編集 |
「かけ算の豆知識」を見た友だちからメールが。。

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3*3=9
13*13=(13+3)*1...169
23*23=(23+3)*2...529
10003*10003=(10003+3)*1000...100060009

9*9=81
10009*10009=(10009+9)*1000...10008100081??
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“3”の方は、うまくいったみたいです。
“9”の方は、なんだろう・・・。
ということで、以下検証。

まずは、電卓で。
  9*  9=   81
 19* 19=  361
 59* 59= 3481
109*109=11881

次に、上に書いたやり方で。
(19+9)*1=28
・・・こっから361に結びつけるには。
28*10+81=361・・・かな。

同じように。
(59+9)*5=340
340*10+81=3481

・・・お・・・?

(109+9)*10=1180
1180*10+81=11881

お、お、お。

では、友だちのメールにあった10009について。
まずは電卓で。
 10009* 10009= 100180081
次に上のやり方で。
(10009+9)*1000=10018000
10018000*10+81=100180081
いけたみたい。

どういうことだろうと思い、“数学の鬼”の血が騒ぐ(文系のくせに)。

下一桁が9となる数の下二桁目以上をnとします(n≧0)。
n=0,1,5,10,1000については上で見たとおりなので、nを使って式を作ってみると。

【[{(n*10)+9}+9]*n】*10+81
※{(n*10)+9}この部分が、9,19,59とかにあたる。

念のため9*9を考えてみる。
この場合n=0なので、
【[{(*10)+9}+9]*】*10+81
下線を引いたところは0があるので、かけ算の結果は0。
よって解は81。

109もやってみよう(n=10)。
 【[{(10*10)+9}+9]*10】*10+81
=【[{100+9}+9]*10】*10+81
=【[118]*10】*10+81
=11800+81
=11881

すべての整数でいけるのか、数学的帰納法なんてものを思い出し、試してみる。
P(n)
=【[{(n*10)+9}+9]*n】*10+81
=【[{10n+9}+9]*n】*10+81
=【[10n+18]*n】*10+81
=【10n^2+18n】*10+81(※「^2」は2乗)
=100n^2+180n+81
=(10n)^2+2・10・9+9^2(※「・」はかけ算)
=(10n+9)^2
()n=0で成り立つことは証明済み。
()n=kで成り立つと仮定して(k≧0)、n=k+1についてあてはめてみる。
P(k+1)
={10(k+1)+9}^2
となる。
()()から、すべての整数で成り立つ。

帰納法ってこんなんだっけ。
違ってたら指摘して下さい。
帰納法のやり方が間違ってなければ、証明できたことになりますわね。

ぁぁ、すごいの書いた(笑
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